EQUAÇÕES BIQUADRADAS

1. Resolva, no conjunto dos números reais, as equações biquadradas:
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ALGEBRA

X? Y? Entenda os cálculos com letras

Para representar os problemas da vida real em linguagem matemática, muitas vezes utilizamos letras que substituem incógnitas (os valores que você não conhece, e quer descobrir). É aí que entram os famosos x, y, etc. O ramo da matemática que utiliza símbolos (normalmente letras do nosso alfabeto latino e do grego) para a resolução de problemas é chamado álgebra.

As equações são a aplicação mais conhecida dessa área da matemática.

Por exemplo, a área de um retângulo de base b e altura c é dada pela fórmula:

A = b . c

Esse conjunto de letras nada mais é que a representação de "fatos da vida real" por meio de números: a representa a área, b e c representam os lados do retângulo.

Essa fórmula vale para qualquer retângulo cuja área se deseja calcular.

Letras IGUAIS substituem valores iguais

Como você resolveria o seguinte cálculo?

Imagine que x represente um objeto, por exemplo, uma maçã. Então você faria:

"3 maçãs mais 7 maçãs"

Logicamente o resultado é "10 maçãs". Então:

O procedimento, como você viu, é simples: para somar números que acompanham incógnitas, basta somá-los, normalmente (desde que as incógnitas sejam iguais).

Agora suponha que x valha 17 maçãs. O resultado de nossa operação seria 170.

Problemas resolvidos pela álgebra

Vamos descobrir quanto medem os lados de um retângulo em que um lado é o dobro do outro e cujo perímetro é igual a 60.

Para começar, é necessário saber o que é perímetro - é a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

Como um lado foi chamado de x, o outro - que é o dobro - será 2x.

Nesse caso, o perímetro pode ser escrito como a soma dos 4 lados:

Logo:
Como o perímetro deve ser igual a 60, o único número que multiplicado por 6 resulta 60 é o número 10, logo:

Vimos, portanto, como utilizar letras para representar objetos e situações da vida real. no caso acima
a letra x representou o comprimento de um dos lados de um retângulo

ALGARISMOS ROMANOS - EXERCÍCIOS

A mãe de Paulinha pediu que ela olhasse as horas no relógio novo da parede da sala.

Ao olhar as horas no relógio, Paulinha ficou surpresa e disse para sua mãe que o relógio estava errado. Então sua mãe lembrou que o relógio não apresentava os símbolos numéricos conhecidos por Paulinha. O relógio utilizava a numeração romana. 

O sistema romano de numeração utiliza letras maiúsculas do alfabeto na representação dos números. Observe:

Atividades


1 – Utilizando os algarismos romanos, represente o número de elementos em cada situação.

2 – Complete seguindo o exemplo:

Por Marcos Noé
Matemático
Equipe Escola Kids

PROBLEMAS DE PORCENTAGENS

1) ) Quanto é 15% de 80? 

2) Quanto é 70% de 30?

3) Quanto é 150% de 45?

4) Quanto é 100% de 40?

5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.

6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram  na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? 

7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número?

8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário?

9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?

10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro?

11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?

12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento das minhas bolinhas de  gude eu dei a ele? Com quantos por cento eu fiquei?

13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei  pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei?

15) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam?

16) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui vender 60%. Quantas peças de roupa eu vendi?

17) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu quintal botaram 10% da quantidade dos ovos que eu tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram quebrados. Eu tenho mais ovos agora ou inicialmente?

18) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido?

19) Quanto é 60% de 200% de 80%?

20) Quanto é 45% de 90% de 180?

21)  Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda a

 água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?

22) Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de ratos brancos desta população?

23) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso?

24) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo?

25) Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel?

26) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

CONJUNTOS - TESTES - COM GABARITO

1) Sejam os conjuntos numéricos A = {2, 4, 8,12,14}; B = {5,10,15, 20, 25} e C = {1, 2, 3,18, 20} e ∅ o conjunto vazio. É correto afirmar que:

(A) B∩C = ∅
(B) A - C = {-6,1, 2, 4, 5}
(C) A∩C = {1, 2, 3, 4, 8,12,14, 20 }
(D) (A - C) ∩ (B - C) = ∅
(E) A∪C = {3, 6,11, 20, 34 }

2) 

Da operação (A – B) ∪ (B – A):

(A) {2}
(B) Ø
(C) {1, 4}
(D) {1, 4, 0}
(E) Nenhuma das anteriores

3) Dado que A = {2,4,6} e B = {2,3,5}. Obter n(A⋃B), ou seja, o número de elementos da união entre A e B. 

(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6

4) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos.

Alguns resultados dessa pesquisa foram:

• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;
• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e
• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.

Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de

A) 25%.
B) 30%.
C) 35%.
D) 40%.

5) Quantos são os subconjuntos de {1, 2, 3, 4, 5, 6} que contêm pelo menos um múltiplo de 3?

(A) 32 
(B) 36
(C) 48 
(D) 60
(E) 64

6) 

Da operação (A – B) ∩ (B – A):

(A) {2}
(B) Ø
(C) {1, 4}
(D) {1, 4, 0}
(E) Nenhuma das anteriores

7) Oitenta alunos de uma sala de aula responderam às duas questões de uma prova, verificando-se os seguintes resultados:

I - 30 alunos acertaram as duas questões.
II - 52 alunos acertaram a 1ª questão.
III - 44 alunos acertaram a 2ª questão.

Nessas condições, conclui-se que:

A) Nenhum aluno errou as duas questões. B) 36 alunos acertaram somente uma questão.
C) 72 alunos acertaram pelo menos uma questão.
D) 16 alunos erraram as duas questões.
E) Não é possível determinar o número de alunos que erraram as duas questões.

8) Se A ⊄ B e B = {10, 23, 12, {1,2}}, então A pode ser: 

(A) {10}
(B) {1}
(C) {10, 23, 12}
(D) {15, 12}∩{13,12}
(E) {10, 23, 12, {1,2}}

9) Seja n um número natural, que possui exatamente três divisores positivos, e seja X o conjunto de todos os divisores positivos de n³ . O número de elementos do conjunto das partes de X é:

A) 64
B) 128
C) 256
D) 512

10) Feita uma pesquisa entre 100 alunos, do ensino médio, acerca das disciplinas português, geografia e história, constatou-se que 65 gostam de português, 60 gostam de geografia, 50 gostam de história, 35 gostam de português e geografia, 30 gostam de geografia e história, 20 gostam de história e português e 10 gostam dessas três disciplinas. O número de alunos que não gosta de nenhuma dessas disciplinas é

(A) 0
(B) 5
(C) 10
(D) 15
(E) 20

Gabarito

1) D; 2) E; 3) D; 4) C; 5) C; 6) B; 7) B; 8) B; 9) B; 10) A;

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

1) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:

Se AR = OE = AE/2 = 40 cm, então:

(A) TO = 10
(B) TO = 20
(C) TO = 30
(D) TO = 60
(E) TO = 15

2) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:

Se AR = OE = AE/2 = 10 cm, então:

(A) TO = 5
(B) TO = 10
(C) TO = 20
(D) TO = 30
(E) TO = 15

3) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:

Se AR = AE/2 = 10 cm, então:

(A) TÔE = 45º
(B) TÔE = 20º
(C) TÔE = 30º
(D) TÔE = 60º
(E) TÔE = 15º

4) Dado os triângulos retângulos ARE e OTE:

Se AR = 5 cm e AE = 10 cm, então:

(A) TÔE = 45º
(B) TÔE = 20º
(C) TÔE = 30º
(D) TÔE = 60º
(E) TÔE = 15º

5) Dado o triângulo retângulo ARE, reto em R:

Se AR = AE/2, então:

(A) RÂE = 45º
(B) RÂE = 20º
(C) RÂE = 30º
(D) RÂE = 60º
(E) RÂE = 15º

6) Dado o triângulo retângulo ARE, reto em R:

Se AE = 2AR, então:

(A) RÂE = 45º
(B) RÂE = 20º
(C) RÂE = 30º
(D) RÂE = 60º
(E) RÂE = 15º

7) Dado o triângulo retângulo ARE, reto em R:

Se AR = 15 cm e AE = 30 cm, então:

(A) RÂE = 45º
(B) RÂE = 20º
(C) RÂE = 30º
(D) RÂE = 60º
(E) RÂE = 15º

8) Dado o triângulo retângulo ARE, reto em R:

Se AR = 5 cm e AE = 10 cm, então:

(A) RÂE = 45º
(B) RÂE = 20º
(C) RÂE = 30º
(D) RÂE = 60º
(E) RÂE = 15º

9) Dado o triângulo retângulo ARE, reto em R:

Sabe-se que o ângulo RÂE mede 60°. Se AR = 5 cm, então a hipotenusa mede, em cm:

(A) 2,5
(B) 5
(C) 10
(D) 15
(E) 1

10) Dado o triângulo retângulo ARE, reto em R:

Sabe-se que o ângulo RÂE tem o dobro da medida do ângulo RÊA, sendo assim:

(A) RÂE = 45º
(B) RÂE = 20º
(C) RÂE = 30º
(D) RÂE = 60º
(E) RÂE = 15º

11) Um passageiro em um avião voando a 10,5 km de altura avista duas cidades à esquerda da aeronave. Os ângulos de depressão em relação às cidades são 30º e 75º conforme a figura abaixo. A distância, em km, entre os prédios A e B situados nessas cidades é igual a

a)
b)
c)
d)

FRAÇÕES-SEXTO ANO