PRODUTOS NOTÁVEIS

Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no cálculo

 algébrico e que são chamados produtos notáveis. 

Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)


= a² + ab+ ab + b²= a² + 2ab + b²

Conclusão:

(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + 


(segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²


Calcule

a) (3 + x)² = 

b) (x + 5)² = 


c) ( x + y)² = 


d) (x + 2)² = 


e) ( 3x + 2)² = 


f) (2x + 1)² = 


g) ( 5+ 3x)² = 


h) (2x + y)² = 


i) (r + 4s)² = 


j) ( 10x + y)² = 


l) (3y + 3x)² = 


m) (-5 + n)² = 


n) (-3x + 5)² = 


o) (a + ab)² = 


p) (2x + xy)² = 


q) (a² + 1)² = 


r) (y³ + 3)² = 


s) (a² + b²)² = 


t) ( x + 2y³)² = 


u) ( x + ½)² = 


v) ( 2x + ½)² = 


x) ( x/2 +y/2)² = 

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)


= a² - ab- ab + b²= a² - 2ab + b²

Conclusão:

(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) 


+ (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²


Exercícios

1) Calcule

a) ( 5 – x)² = 

b) (y – 3)² = 


c) (x – y)² = 


d) ( x – 7)² =


e) (2x – 5) ² = 


f) (6y – 4)² = 


g) (3x – 2y)² = 


h) (2x – b)² = 


i) (5x² - 1)² = 


j) (x² - 1)² =                   


l) (9x² - 1)² = 


m) (x³ - 2)² = 


n) (2m⁵ - 3)² = 


o) (x – 5y³)² =


p) (1 - mx)² =


q) (2 - x⁵)² =


r) (-3x – 5)² =


s) (x³ - m³)² =

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

conclusão:

(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25

2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²

EXERCÍCIOS

1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = 

b) (y – 7 ) . (y + 7) = 


c) (x + 3) . (x – 3) = 


d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = 


e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) =


f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = 


g) (3x + y ) (3x – y) = 


h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = 


i) (2x + 3y) . (2x – 3y) =


j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = 


l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = 


m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = 


n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = 


o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =


p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =


q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =

CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo

a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²=(a + b) . (a² + 2ab + b²)


= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)


= a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³= a³ - 3a²b + 3ab² - b³

c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³= x³ + 15x² + 75x +125

d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³= 


=8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³ = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³


EXERCICIOS

1) Desenvolva

a) ( x + y)³ = 


b) (x – y)³ = 


c) (m + 3)³ =


d) (a – 1 )³ =


e) ( 5 – x)³ = 


f) (-a - b)³


g) (x + 2y)³


h) ( 2x – y )³


i) (1 + 2y)³


j) ( x – 2x)³


k) ( 1 – pq)³


l) (x – 1)³


m) ( x + 2 )³


n) ( 2x – 1)³


o) ( 2x + 5 )³


p) (3x – 2 )³

GEOMETRIA ESPACIAL-

Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.

Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em algum objeto na nossa realidade, como:

Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.

Cone: casquinha de sorvete.

Cilindro: cano PVC, canudo.

Esfera: bola de isopor, bola de futebol.

Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupado por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.

TETRAEDRO REGULAR: o tetraedro regular é um sólido platônico representante do elemento fogo, figura geométrica espacial formada por quatro triângulos equiláteros (triângulos que possuem lados com medidas iguais); possui 4 vértices , 4 faces e 6 arestas. Considerado como um caso particular de pirâmide regular de base triangular, o volume do tetraedro regular é dado pela expressão matemática:

                             

PLANIFICAÇÃO DO TETRAEDRO

CUBO: é um paralelepípedo retângulo que possui as 12 arestas congruentes. 

Possui as seis faces quadrada iguais. 

Também é denominado hexaedro regular ou romboedro reto-retângulo

       

OCTAEDRO: é um poliedro que possui 8 faces. Se for um octaedro regular, ele terá 8 faces que são triângulos equiláteros

DODECAEDRO: é um poliedro de 12 faces.

Um dodecaedro regular é constituído por 12 pentágonos regulares e é um do sólidos platônicos.

                       

A área e o volume de um dodecaedro é dado pelas expressões abaixo:

Planificação do dodecaedro regular:

ICOSAEDRO:  é um poliedro convexo de 20 faces.

Um icosaedro regular, é constituido por 20 triângulos equiláteros e é um dos sólidos platônicos.

                                         

O icosaedro também pode ser chamado tetraedro snub pois a snubificação de um tetraedro regular dá um icosaedro regular. O estudo das figuras geométricas sólidas perfeitas, como o icosaedro é de tamanha importância para a matemática, mais especificamente a geometria espacial.

Planificação do icosaedro regular:

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA-SÉTIMO ANO

1)      Resolver as equações abaixo, sendo U = Q justificando os cálculos. Escreva o conjunto verdade de cada equação. Cada equação resolvida corretamente vale 0,5 ponto:

a)      4x = 28

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b)      5x + 1 = 36

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c)      2x – 8 = 8

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d)     7x – 4 = 10

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e)      2x + 1 = -8

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f)       11 – 3x = 2

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g)      3x = - 7 + x

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h)      9x + 5 = 4x

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i)        20 = -6x + 32

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j)        7 x – 17 = 200

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2)      ( 1,5) ( UFJF-MG) O conjunto solução da equação da equação 0,5x = 0,3 – 0.5x é: ( Deixar os cálculos ou justificativas nesta folha)

a)      0,3

b)      0,5

c)      0,8

d)     1,3

3)      ( 2,0) Resolva as equações abaixo:

a)      7x + 1 – 5x = 9

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b)      17x – 1 =15x + 3

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c)      3.( 2.x + 1 ) = 7   

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d)     x + 3X/2 = 5 

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4)      ( 1,5) Qual o número que somado ao seu triplo dá 60? Montar uma equação na incógnita x e resolvê-la.

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COMO RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS

          Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos. Nas séries iniciais os cálculos envolvem adições e subtrações; posteriormente, multiplicações e divisões.
Na 2ª fase do Ensino Fundamental os problemas são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com utilização da álgebra.

O dobro de um número adicionado com 4 → 2x + 4.
A soma de dois números consecutivos → x + (x + 1)
O quadrado de um número mais 10 → x² + 10
O triplo de um número adicionado ao dobro do número → 3x + 2x
A metade da soma de um número com 15 → (x + 15)/2
A quarta parte de um número → x/4

Exemplo 1

A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os.

1º número: x
2º número: x + 2
3º número: x + 4

( x )+(x + 2) + (x + 4) = 96

Resolução

x + x + 2 + x + 4 = 96
3x = 96 – 4 – 2
3x = 96 – 6
3x = 90
x = 90/3
x = 30

1º número: x → 30
2º número: x + 2 → 30 + 2 = 32
3º número: x + 4 → 30 + 4 = 34

Os números procurados são 30, 32 e 34.

 Exemplo 2

O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:

Resolução:

3x + 4 = 5²
3x = 25 – 4
3x = 21
x = 21/3
x = 7

O número procurado é igual a 7.

Exemplo 3

A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?

Resolução:

Atualmente
Filho: x
Pai: 4x

Futuramente
Filho: x + 5
Pai: 4x + 5

4x + 5 = 3 * (x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
4x – 3x = 15 – 5
x = 10

Pai: 4x → 4 * 10 = 40

O filho tem 10 anos e o pai tem 40.

Exemplo 4

O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?

Resolução

2x + 3x = 20
5x = 20
x = 20/5
x = 4

O número corresponde a 4.

Exemplo 5

Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.

Galinhas: g
Coelhos: c

g + c = 35

Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:

2g + 4c = 100

Sistema de equações

 Isolando c na 1ª equação:

g + c = 35
c = 35 – g

Substituindo c na 2ª equação:
2g + 4c = 100
2g + 4 * (35 – g) = 100
2g + 140 – 4g = 100
2g – 4g = 100 – 140
– 2g = – 40
g = 40/2
g = 20

Calculando c

c = 35 – g
c = 35 – 20
c = 15